使用gpt整理。
泰森多边形
泰森多边形（Voronoi Diagram）也被称为泰森图或Voronoi分割，是一种将平面分割为与一组输入点相关联的区域的方法。它以数学家Georgy Voronoi的名字命名，他首先在1908年提出了这个概念。
泰森多边形的基本原理是，给定一组点（也称为生成点、种子点或样本点），它将平面划分为多个区域，每个区域都由距离最近的生成点所定义。换句话说，每个点都属于最近的生成点的区域，该区域被称为该点的泰森多边形。
泰森多边形具有以下特点和应用：
-
区域划分： 泰森多边形将空间划分为多个不重叠的区域，每个区域都与一个生成点相关联。任何一个点都属于距离最近的生成点的泰森多边形。
-
凸多边形： 泰森多边形中的每个区域都是一个凸多边形，即多边形的内角都小于180度。
-
最近邻搜索： 由于泰森多边形提供了最近邻的信息，因此可以使用泰森多边形来解决最近邻搜索问题，例如在计算机图形学中查找最近的点、计算点云数据中每个点的最近邻等。
-
空间分析： 泰森多边形在空间分析中有广泛的应用，例如地理信息系统、城市规划、资源分配等领域。通过泰森多边形，可以找到某个位置周围的区域范围。
-
计算机图形学： 泰森多边形在计算机图形学中被广泛用于生成图形效果、纹理映射、形状生成等任务。
-
计算方法： 泰森多边形的计算方法有多种，包括递归算法、增量算法和迭代算法等。这些算法的目标是将平面上的点集划分为最优的区域，使得每个区域都与最近的生成点相关联。
-
Delaunay 三角剖分： 泰森多边形与Delaunay三角剖分密切相关。Delaunay三角剖分是将平面上的点集划分为一组不重叠的三角形，满足一定的几何性质。泰森多边形可以从Delaunay三角剖分中派生出来，两者之间存在一种对偶关系。
-
高维空间： 泰森多边形不仅适用于二维平面，还可以推广到高维空间。在高维空间中，泰森多边形划分的是超体积（hypervolume），每个区域都由距离最近的生成点定义。
-
应用案例： 泰森多边形在各个领域都有广泛的应用。在地理信息系统中，泰森多边形可以用于确定某个位置周围的区域范围，从而进行地理分析和规划。在计算机图形学中，泰森多边形可以用于生成自然景观、纹理映射和形状合成等任务。在网络规划和资源分配中，泰森多边形可以用于确定覆盖区域和最优分配策略。
Delaunay三角剖分
Delaunay三角剖分是一种将点集划分为一组不重叠的三角形的方法，它满足一定的几何性质。Delaunay三角剖分以数学家Boris Delaunay的名字命名，他在1934年首先提出了这个概念。
Delaunay三角剖分的基本原则是，对于给定的点集，如果可以通过一个圆来包含每个三角形的顶点（称为Delaunay圆），并且这些圆不相交，那么这个三角剖分就是Delaunay三角剖分。换句话说，Delaunay三角剖分是使得三角形的外接圆最大化的剖分。
Delaunay三角剖分具有以下特点和应用：
-
几何性质： Delaunay三角剖分具有一些重要的几何性质。其中最重要的性质是，任何一个三角形的外接圆不会包含其他点，即满足Delaunay性质。这种性质使得Delaunay三角剖分在许多应用中具有优势。
-
最优性： Delaunay三角剖分在一定意义下是最优的，并且有助于最小化三角形的形变和尺寸差异。它可以提供均匀分布的三角形，有利于各种计算和分析任务。
-
最近邻搜索： 由于Delaunay三角剖分提供了点之间的连接关系，因此可以用于高效地进行最近邻搜索。通过在剖分中查找相邻的三角形，可以快速确定每个点的最近邻点。
-
计算几何学： Delaunay三角剖分在计算几何学中有广泛的应用。它用于解决诸如点定位、空间索引、区域查询、包围盒计算等问题。此外，它还可以用于生成网格、形状重建和三维可视化等领域。
-
三角网格生成： Delaunay三角剖分是生成三角网格的重要工具。通过在给定点集上进行Delaunay三角剖分，可以生成高质量的三角网格，用于有限元分析、计算流体力学、形状建模等应用。
Delaunay三角剖分是计算几何学中的一个重要概念，它具有许多实际应用。通过满足Delaunay性质，Delaunay三角剖分提供了高质量、均匀分布的三角形，适用于最近邻搜索、计算几何学、三角网格生成等问题。它被广泛应用于计算机图形学、地理信息系统、计算机模拟等领域。
泰森图和K-means
Voronoi图和聚类之间的关系在于，Voronoi图可以用于聚类算法中的初始点选择。一种常见的方法是使用K-means算法，其中初始聚类中心可以通过选择Voronoi图中的数据点来获得。
这样做的原因是Voronoi图划分了空间并将数据点分配给最近的中心，可以作为初始聚类中心的候选。
通过使用Voronoi图中的数据点作为初始聚类中心，可以更好地初始化聚类过程，提高K-means算法的收敛速度和聚类效果。
泰森图和相似性检索
Voronoi图在相似性检索中的优势在于它提供了一种空间分割的方法，可以将数据空间划分为多个区域，并将数据点与最近的种子点关联起来。 通过使用Voronoi图，可以快速定位与查询对象相似的数据项，并只需在相关区域中进行搜索，而无需遍历整个数据集。
来自 向量数据库 ：
我们可以将向量想象为包含在 Voronoi 单元格中 - 当引入一个新的查询向量时，首先测量其与质心 (centroids) 之间的距离，然后将搜索范围限制在该质心所在的单元格内。
为了解决搜索时可能存在的遗漏问题，可以将搜索范围动态调整，例如当 nprobe = 1 时，只搜索最近的一个聚类中心，当 nprobe = 2 时，搜索最近的两个聚类中心，根据实际业务的需求调整 nprobe 的值。